miércoles, 2 de septiembre de 2009
Demostraccion de Euclides
El eje de su demostración es la proposición I.47 de Los Elementos:
- Si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base, y están comprendidos entre las mismas paralelas, entonces el área del paralelogramo es doble de la del triángulo. Esto es tanto como decir que a igual base y altura, el área de aquél dobla a la de éste.
Tenemos el triángulo ABC, rectángulo en C, y construimos los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se trazan cuatro triángulos, iguales dos a dos:
- Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.
- Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.
Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. En la demostración de Leonardo da Vinci nos encontraremos de nuevo con giros que demuestran la igualdad de figuras.
Veamos seguidamente que:
- Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto de acuerdo con la proposición I.47 AHJK tiene doble área que ACK.
- Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.
Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciendo razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, concluimos que éstos últimos tienen áreas asimismo iguales. A partir de aquí, es inmediato que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa